《俄罗斯数学教材选译》序

前言

给读者的建议

第l章  代数的起源

  §1  简谈代数

  §2  几个典型问题

    1．方程的根式解问题

    2．多原子分子的状态问题

    3．通信编码问题

    4．平板受热问题  

§3  线性方程组初步

    1．名词

    2．线性方程组的等价

    3．化为阶梯型

    4．对阶梯形线性方程组的研究

    5．评注和例子

  §4  低阶行列式

    习题

  §5集合与映射

    1．集合

    2．映射

    习题  

  §6  等价关系．商映射

    1．二元关系

    2．等价关系

    3．商映射

    4．序集

    习题

  §7  数学归纳法原理

    习题

  §8  置换

    1．置换的标准记法

    2．置换的循环结构

    3．置换的符号

    4．S在函数上的作用

    习题

  §9  整数的算术

    1．算术基本定理

    2．z中的最大公因数和最小公倍数

    3．z中的带余除法

    习题

第2章  矩阵

  §1  行和列的向量空间

    1．问题的提出

    2．基本定义      

    3．线性组合．线性包

    4．线性相关性

    5．基．维数

    习题

  §2  矩阵的秩

    1．方程组的回顾

    2．矩阵的秩

    3．可解性准则

    习题

  §3  线性映射．矩阵的运算

    1．矩阵和映射

    2．矩阵的乘积

    3．矩阵的转置

    4．矩阵乘积的秩

    5．方阵

    6．矩阵的等价类

    7．逆矩阵的计算

    8．解空间

    习题

第3章  行列式

  §1  行列式：构造和基本性质

    1．几何背景

    2．组合一解析方法

    3．行列式的基本性质

    习题

  §2  行列式的进一步性质

    1．行列式按一行或一列的元素展开

    2．特殊矩阵的行列式

    习题

  §3  行列式的应用

    1．非退化矩阵的判别准则

    2．克拉默公式

    3．加边子式法

    习题

  §4  行列式的公理化构造

    1．第一公理化构造

    2．第二公理化构造．

    3．完全归纳构造法

    4．通过乘法性质的刻画

    习题

第4章  群．环．域

  §1  具有代数运算的集合  

    1．二元运算

    2．半群和幺半群

    3．广义结合律；方幂

    4．可逆元素

    习题

  §2  群

    1．定义和例子

    2．循环群

    3．同构

    4．同态      

    5．术语．例子

    习题

  §3  环和域

    1．环的定义和一般性质

    2．同余式．剩余类环

    3．环的同态    

    4．环的类型域      

    5．域的特征

    6．关于线性方程组的注记  

    习题

第5章  复数和多项式

  §1  复数域

    1．辅助结构

    2．复平面

    3．复数运算的几何解释

    4．乘方和开方

    5．唯一性定理

    6．复数的初等几何

    习题

  §2  多项式环

    1．单变元多项式

    2．多变元多项式

    3．带余除法

    习题

  §3  多项式环中的因式分解

    1．整除的初等性质一

    2．环中的最大公因(g．c．d)和最小公倍(1．c．m）

    3．欧几里得环的唯一因子分解性

    4．既约多项式

    习题

    §4分式域

    1．整环的分式域的构造

    2．有理函数域

    3．最简分式

    习题

第6章  多项式的根

  §1  根的一般性质

    1．根和线性因子

    2．多项式函数

    3．多项式环的微分法

    4．重因式

    5．韦达公式

    习题

  §2  对称多项式

    1．对称多项式环

    2．对称多项式基本定理

    3．待定系数法

    4．多项式的判别式      

    5．结式

    习题

  §3  域C的代数封闭性

    1．基本定理的叙述

    2．基本定理的证明

    3．基本定理的又一个证明

  §4  实系数多项式

    1．R【x】中的因式分解

    2．C上和R上的最简分式

    3．多项式的隔根问题一

    4．只有实根的实多项式

    5．稳定多项式一

    6．多项式的根对系数的依赖关系

    7．多项式根的计算

    8．整系数多项式的有理根

    习题

附录  关于多项式的公开问题

  1． 雅可比猜想

  2． 判别式问题

  3． 多项式环的二元生成问题

  4． 临界点和临界值问题

  5．牛顿方法的整体收敛问题

名词索引