前  言

第1章 函数与极限1

  1.1 集合与映射1

    1.1.1 集合1

    1.1.2 区间与邻域4

    1.1.3 映射5

    习题1-17

  1.2 函数8

    1.2.1 函数的基本问题与分段函数8

    1.2.2 函数的几种特性12

    1.2.3 反函数与复合函数15

    1.2.4 初等函数及双曲函数16

    延伸阅读17

    习题1-218

  1.3 数列及其极限20

    1.3.1 关于数列21

    1.3.2 数列的极限与无穷小23

    延伸阅读28

    习题1-330

  1.4 函数的极限31

    1.4.1 关于极限limx→∞f(x)与无穷小31

    1.4.2 关于极限limx→x0f(x)与无穷小36

    1.4.3 几个常用定理与极限的统一39

    延伸阅读40

    习题1-441

  1.5 无穷小的再讨论及其运算 无穷大42

    1.5.1 无穷小的进一步讨论421.5.2 无穷小的运算性质43

    1.5.3 无穷大44

    习题1-5 48

  1.6 极限的运算法则48

    1.6.1 极限的四则运算49

    1.6.2 复合函数的极限52

    习题1-653

  1.7 极限存在准则 两个重要极限54

    1.7.1 准则I与重要极限I54

    1.7.2 准则II与重要极限II57

    习题1-759

  1.8 无穷小的比较60

    习题1-863

  1.9 函数的连续性与连续函数的运算64

    1.9.1 函数的连续性64

    1.9.2 连续函数的运算69

    1.9.3 初等函数的连续性70

    习题1-971

  1.10 闭区间上连续函数的性质72

    1.10.1 最大最小值定理与有界性定理72

    1.10.2 零点定理与介值定理73

    习题1-1075

  提高训练题76

第2章 导数与微分78

  2.1 导数78

    2.1.1 导数的背景78

    2.1.2 导数的定义79

    2.1.3 可导与连续的关系83

    习题2-184

  2.2 求导法则与高阶导数85

    2.2.1 函数和、积、商的导数85

    2.2.2 反函数的导数87

    2.2.3 复合函数的导数88

    2.2.4 高阶导数90

    习题2-292

  2.3 隐函数及参数方程的导数94

    2.3.1 隐函数的求导法则94

    2.3.2 对数求导法95

    2.3.3 参数方程的求导法则97

    习题2-398

  2.4 函数的微分100

    2.4.1 函数的微分100

    延伸阅读102

    2.4.2 微分在近似计算中的应用102

    习题2-4103

  提高训练题104

第3章 微分中值定理与导数应用106

  3.1 微分中值定理106

    习题3-1110

  3.2 洛必达法则110

    3.2.1 关于00,∞∞型未定式111

    3.2.2 关于0·∞,∞-∞,00,1∞,∞0型未定式113

    习题3-2115

  3.3 泰勒公式116

    延伸阅读119

    习题3-3121

  3.4 函数的单调性与极值121

    习题3-4125

  3.5 曲线的凹凸性与拐点126

    习题3-5128

  3.6 函数图形的描绘129

    习题3-6131

  3.7 最大最小值问题131

    习题3-7133

  3.8 曲率133

    3.8.1 弧微分 134

    3.8.2 弯曲度与平均曲率134

    3.8.3 曲率135

    3.8.4 曲率圆与曲率半径136

    延伸阅读137

    习题3-8139

  提高训练题139

第4章 不定积分142

  4.1 不定积分的概念与性质142

    4.1.1 原函数与不定积分142

    4.1.2 不定积分的基本公式及性质143

    延伸阅读146

    习题4-1147

  4.2 换元积分法148

    4.2.1 第一类换元法148

    4.2.2 第二类换元法154

    习题4-2158

  4.3 分部积分法160

    习题4-3162

  4.4 有理函数的积分与可化为有理函数的积分问题163

    4.4.1 有理函数的积分163

    4.4.2 可化为有理函数的积分166

    延伸阅读169

    习题4-4170

  提高训练题171

第5章 定积分及其应用172

  5.1 定积分的概念与性质172

    5.1.1 定积分概念及产生的背景172

    5.1.2 定积分的定义174

    5.1.3 定积分的性质176

    习题5-1 180

  5.2 微积分基本公式181

    5.2.1 变动上限的积分182

    5.2.2 牛顿-莱布尼茨定理183

    5.2.3 变上限函数的导数184

    习题5-2186

  5.3 定积分的换元法与分部积分法188

    5.3.1 定积分的换元积分法188

    5.3.2 分部积分法192

    习题5-3192

  5.4 反常积分194

    5.4.1 无界区间上的反常积分194

    5.4.2 无界函数的反常积分197

    习题5-4199

  5.5 定积分的几何应用200

    5.5.1 平面区域的面积问题201

    5.5.2 旋转体的体积问题207

    5.5.3 平面曲线的弧长210

    习题5-5212

  5.6 定积分的物理应用213

    5.6.1 变力沿直线所做的功213

    5.6.2 水的压力214

    5.6.3 引力215

    习题5-6216

  提高训练题216

第6章 微分方程219

  6.1 常微分方程的基本概念219

    6.1.1 微分方程的解、通解与特解219

    6.1.2 初值问题(Cauchy问题)221

    习题6-1222

  6.2 一阶微分方程及其解法222

    6.2.1 可分离变量的一阶微分方程223

    6.2.2 一阶齐次微分方程224

    6.2.3 一阶线性微分方程226

    延伸阅读228

    习题6-2229

  6.3 可降阶的二阶微分方程230

    6.3.1 缺y型的二阶微分方程230

    6.3.2 缺x型的二阶微分方程232

    6.3.3 同时缺y和y′型的二阶微分方程233

    习题6-3233

  6.4 二阶常系数线性微分方程234

    6.4.1 二阶线性微分方程及其解的结构234

    6.4.2 二阶常系数齐次线性微分方程235

    6.4.3 二阶常系数非齐次线性微分方程238

    延伸阅读241

    习题6-4243

  6.5 微分方程应用举例244

    习题6-5246

  提高训练题247

附录A 几种常用曲线249

附录B 高等数学常用公式251

部分习题答案与提示252

提高训练题答案与提示288