《俄罗斯数学教材选译》序

原书的序

第一部分 单变量函数的微分学

第一章 引论

第一讲

  §1．集合集合的运算．集合的笛卡儿乘积．映射和函数．

第二讲

  §2．对等的集合可数集和不可数集连续统的势

第三讲

  §3．实数

第四讲

  §4．实数集的完备性

  55．关于集合的分离性的引理，关于嵌套闭区间系的引理以及关于收缩闭

  区间序列的引理

第二章 数列的极限

第五讲

  §1．数学归纳法、牛顿二项式以及伯努利不等式

  §2．数列、无穷小数列和无穷大数列及其性质

第六讲

  §3．数列的极限．

  §4．不等式中的极限过程

第七讲

  §5．单调数列．魏尔斯特拉斯定理．数“e”和欧拉常数

第八讲

  §6．关于有界数列存在部分极限的波尔查诺一魏尔斯特拉斯定理

  §7．数列收敛的柯西准则

第三章 函数在一点处的极限

第九讲

  §1．数值函数的极限的概念

  §2．集合基．函数沿着基的极限

第十讲

  §3．在不等式中取极限

  §4．函数沿着基存在极限的柯西准则

第十一讲

  §5．柯西的收敛定义与海涅的收敛定义的等价陛．

  §6．关于复合函数的极限的定理

  §7．无穷小函数的阶

第四章 函数在一点处的连续性

第十二讲

  §1．在一点处连续的函数的性质

  §2．初等函数的连续性

第十三讲

  §3．重要的极限

  §4．函数在集合上的连续性

第十四讲

  §5．闭区间上的连续函数的一般性质

第十五讲

  §6．一致连续的概念．

  §7．闭集和开集的性质．紧致性．紧致集上的连续函数

第五章 单变量函数的微分

第十六讲

  §1．函数的增量．函数的微分和导数

第十七讲

  §2．复合函数的微分

  §3．微分法则

第十八讲

  §4．高阶导数和高阶微分

  §5．函数在一点处的增与减

第十九讲

  §6．罗尔定理，柯西定理以及拉格朗日定理．

第二十讲

  §7．拉格朗日定理的推论．

  §8．一些不等式

  §9．以参数形式给出的函数的导数

第二十一讲

  §10．不定式的展开

第二十二讲

  §11．局部泰勒公式

  §12．带有一般型余项的泰勒公式

第二十三讲

  §13．泰勒公式对于某些函数的应用

第二十四讲

  §14．借助于导数研究函数．极值点凸性

第二十五讲

  §15．拐点

第二十六讲

  §16．插值

第二十七讲

  §17．割线法和切线法(牛顿法)．快速计算

第六章 不定积分

第二十八讲

  §1．真实原函数．可积函数

第二十九讲

  §2．不定积分的性质

第三十讲

  补充．按海涅方式的极限概念向沿集合基收敛的函数的推广

第二部分 黎曼积分多变量函数的微分学

第七章 定积分

第八章 黎曼积分理论的基本定理

第九章 反常积分

第十章 曲线的长度

第十一章 若尔当测度

第十二章 勒贝格测度论与勒贝格积分论初步.斯蒂尔切斯积分

第十三章 一般拓扑学的某些概念.度量空间

第十四章 多变量函数的微分学

第三部分 函数级数与参变积分

第十五章 数值级数

第十六章 函数序列与函数级数

第十七章 依赖于参数的积分

第十八章 傅里叶级数和傅里叶积分

第四部分 多重黎曼积分 曲面积分

第十九章 多重积分

第二十章 曲面积分

第二十一章 一般的斯托克斯公式

用于讨论班和考试的示范性问题和习题

参考文献

名词索引