第1章  曲线与曲面论

  1.1  度量空间与欧氏空间

    1.1.1  度量空间

    1.1.2  向量空间

    1.1.3  仿射空间

    1.1.4  欧氏空间

    1.1.5  等距变换

  1.2  三维欧氏空间中的向量代数和向量分析

    1.2.1  三维欧氏空间中的向量及其运算

    1.2.2  向量函数和向量分析

    附录1.2  笛卡儿生平及学术贡献

  1.3  曲线论概述

    1.3.1  曲线的表示

    1.3.2  空间曲线的基本三棱形

    1.3.3  曲线的曲率、挠率和费雷内公式

    附录1.3  欧拉生平及学术贡献

  1.4  曲面论概述

    1.4.1  曲面的表示

    1.4.2  曲面的定向

    1.4.3  曲面的第一基本形式

    1.4.4  曲面的第二基本形式

    1.4.5  曲面的曲率

    附录1.4  高斯生平及学术贡献

  1.5  基于MATLAB的几何图形绘制和数值计算

    1.5.1  MATLAB用户环境介绍

    1.5.2  基于MATLAB的平面曲线绘制

    1.5.3  基于MATLAB的空间曲线绘制

    1.5.4  基于MATLAB的曲面绘制

    1.5.5  基于MATLAB的微分几何数值计算

  习题1

第2章  张量代数和外形式

  2.1  对偶空间与多重线性函数

    2.1.1  对偶空间

    2.1.2  多重线性函数

  2.2  张量与张量代数

    2.2.1  张量及其表示

    2.2.2  张量积和张量代数

    2.2.3  张量的缩并运算

    2.2.4  度量张量、指标的提升和下降

  2.3  对称张量和反对称张量

    2.3.1  对称与反对称张量

    2.3.2  对称化与反对称化算子

  2.4  外形式与外代数

    2.4.1  外形式

    2.4.2  外积

    2.4.3  外形式空间和外代数

    2.4.4  外形式的性质

    附录2.4  嘉当生平及学术贡献

  习题2

第3章  微分流形

  3.1  拓扑学基本概念

    3.1.1  拓扑空间

    3.1.2  拓扑空间的子集

    3.1.3  拓扑空间的映射

    3.1.4  拓扑不变性

  3.2  微分流形

    3.2.1  拓扑流形

    3.2.2  微分流形

    3.2.3  微分流形的例子

    附录3.2  黎曼生平及学术贡献

  3.3  光滑映射和微分同胚

    3.3.1  流形间的光滑映射

    3.3.2  微分同胚

    附录3.3  惠特尼生平及学术贡献

  3.4  切向量与余切向量

    3.4.1  切向量与切空间

    3.4.2  余切向量和余切空间

    3.4.3  诱导切映射和诱导余切映射

  3.5  子流形和带边流形

    3.5.1  浸入与嵌入

    3.5.2  开子流形和闭子流形

    3.5.3  嵌入定理

    3.5.4  带边流形和闭流形

    附录3.5  纳什生平及学术贡献

  习题3

第4章  切向量场、单参数变换群与切丛

  4.1  切向量场和泊松括号积

    4.1.1  切向量场

    4.1.2  李代数与泊松括号积

    4.1.3  微分流形上的对合分布

    4.1.4  诱导切映射与泊松括号积运算的可交换性

  4.2  单参数变换群和李导数

    4.2.1  单参数变换群

    4.2.2  单参数变换群的诱导光滑切向量场

    4.2.3  李导数

  4.3  向量丛和切丛

    4.3.1  向量丛

    4.3.2  切丛和余切丛

    附录4.3  陈省身生平及学术贡献

  习题4

第5章  张量场、黎曼流形与列维-齐维塔联络

  5.1  光滑张量场

    5.1.1  光滑张量场

    5.1.2  张量场的李导数

  5.2  单位分解定理、黎曼流形和伪黎曼流形

    5.2.1  单位分解定理

    5.2.2  黎曼流形

    5.2.3  伪黎曼流形

  附录5.2  爱因斯坦、广义相对论与黎曼几何

  5.3  外微分式及外微分

    5.3.1  外微分式

    5.3.2  外微分

    5.3.3  流形间光滑映射的诱导映射

  5.4  仿射联络和列维-齐维塔联络

    5.4.1  仿射联络和仿射联络空间

    5.4.2  挠率张量和挠率形式

    5.4.3  列维-齐维塔联络

    5.4.4  协变微分

  附录5.4  列维-齐维塔生平及学术贡献

  5.5  黎曼曲率和结构方程

    5.5.1  平行移动和测地线

    5.5.2  仿射联络的曲率张量和曲率形式

    5.5.3  黎曼曲率张量、截曲率和常曲率空间

    5.5.4  黎曼流形的结构方程

    5.5.5  里奇曲率和数量曲率

    5.5.6  爱因斯坦流形和卡拉比-丘流形

  习题5

第6章  流形上的积分、微分算子和德拉姆上同调

  6.1  流形的定向、流形上的积分和斯托克斯定理

    6.1.1  流形的定向

    6.1.2  光滑流形上的积分

    6.1.3  黎曼流形上的积分

    6.1.4  斯托克斯定理

  6.2  黎曼流形上的微分算子

    6.2.1  霍奇星算子

    6.2.2  散度算子和梯度算子

    6.2.3  余微分算子

  6.3  霍奇-德拉姆算子、拉普拉斯-贝尔特拉米算子及其特征值

    6.3.1  霍奇-德拉姆算子和拉普拉斯-贝尔特拉米算子

    6.3.2  拉普拉斯算子的特征值

    附录6.3  贝尔特拉米生平及学术贡献

  6.4  德拉姆上同调和霍奇分解定理

    6.4.1  德拉姆上同调

    6.4.2  霍奇分解定理及其应用

    6.4.3  庞加莱对偶定理

    附录6.4  德拉姆生平及学术贡献

  习题6

名词索引

人名索引

参考文献