引言

第一章  波动方程

  §1  方程的导出、定解条件

    1.弦振动方程的导出（2）2.定解条件（5）3.定解问题适定性概念（7）  习题（8）

  §2  达朗贝尔公式、波的传播

    1.叠加原理（8）2.弦振动方程的达朗贝尔解法（9）3.传播波（11）4.依赖区间、

    决定区域和影响区域（11）5.齐次化原理（13）  习题（16）

  §3  初边值问题的分离变量法

    1.分离变量法（17）2.解的物理意义（21）3.非齐次方程的情形（22）4.非齐次

    边界条件的情形（23）  习题（23）

  §4  高维波动方程的柯西问题

    1.膜振动方程的导出（25）2.定解条件的提法（27）3.球平均法（28）4.降维法（31）

    5.非齐次波动方程柯西问题的解（33）  习题（34）

  §5  波的传播与衰减

    1.依赖区域、决定区域和影响区域（35）2.惠更斯（Huygens）原理、波的弥散（36）

    3.波动方程解的衰减（37）  习题（39）

  §6  能量不等式、波动方程解的唯一性和稳定性

    1.振动的动能和位能（39）2.初边值问题解的唯一性与稳定性（40）  3.柯西问题解

    的唯一性与稳定性（43）  习题（46）

第二章  热传导方程

  §1  热传导方程及其定解问题的导出

    1.热传导方程的导出（47）2.定解问题的提法（48）3.扩散方程（50）  习题（50）

  §2  初边值问题的分离变量法

    1.一个空间变量的情形（51）  2。.圆形区域上的热传导问题（54）  习题（55）

  §3  柯西问题

    1.傅里叶变换及其基本性质（56）2.热传导方程柯西问题的求解（59）3.解的

    存在性（60）习题（62）

  §4  极值原理、定解问题解的唯一性和稳定性

    1.极值原理（63）2.初边值问题解的唯一性和稳定性（64）3.柯西问题解的唯一性

    和稳定性（66）  习题（67）

  §5  解的渐近性态

    1.初边值问题解的渐近性态（68）  2.柯西问题解的渐近性态（69）  习题（69）

第三章  调和方程

  §1  建立方程、定解条件

    1.方程的导出（71）2.定解条件和定解问题（73）3.变分原理（74）  习题（77）

  §2  格林公式及其应用

    1.格林公式（78）2.平均值定理（80）3.极值原理（81）4.第一边值问题解

    的唯一性及稳定性（82）  习题（83）

  §3  格林函数

    1.格林函数及其性质（83）2.静电源像法（85）  3.解的验证（88）4。.单连通区域

    的格林函数（90）5.调和函数的基本性质（91）  习题（94）

  §4  强极值原理、第二边值问题解的唯一性

    1.强极值原理（95）  2.第二边值问题解的唯一性（97）  3.用能量积分法证明边值

    问题的解的唯一性（98）  习题（99）

第四章  二阶线性偏微分方程的分类与总结

  §1  二阶线性方程的分类

    1.两个自变量的方程（100）2.两个自变量的二阶线性方程的化简（100）3.方程的

    分类（103）4.例（104）5.多个自变量的方程的分类（105）  习题（107）

  §2  二阶线性方程的特征理论

    1.特征概念（107）2.特征方程（108）3.例（110）  习题（112）

  §3  三类方程的比较

    1.线性方程的叠加原理（112）2.解的性质的比较（114）3.定解问题提法的比较（116）

    习题（119）

  §4  先验估计

    1.椭圆型方程解的最大模估计（120）2.热传导方程解的最大模估计（121）3.双曲型

    方程解的能量估计（122）4.抛物型方程解的能量估计（124）  5.椭圆型方程解的能量

    估计（125）  习题（127）

第五章  一阶偏微分方程组

  §1  引言

    1.一阶偏微分方程组的例子（129）2.一阶方程组与高阶方程的关系（131）  习题（132）

  §2  两个自变量的一阶线性偏微分方程组的特征理论

    1.特征方程、特征线（133）2.两个自变量的一阶线性偏微分方程组的分类（134）

    3.将严格双曲型方程组化为对角型（135）  习题（137）

  §3  两个自变量的线性双曲型方程组的柯西问题

    1.化为积分方程组（138）2.柯西问题解的存在性与唯一性（139）3.对初始条件的连续依赖性（142）4.依赖区间、决定区域和影响区域（142）5”.关于柯西问题提法正确性的附注（143）  习题（144）

  §4  两个自变量的线性双曲型方程组的其它定解问题

    1.广义柯西问题（145）2.古尔萨（Goursat）问题（146）3.一般角状区域上的边值问题（146）  习题（147）

  §5  幂级数解法、柯西一柯瓦列夫斯卡娅（Cauchy—KoBaJIeBcKaH）定理

    1.幂级数解法（148）2.柯西一柯瓦列夫斯卡娅定理（149）  习题（153）

第六章  广义解与广义函数解

  §1  广义解

    1.研究广义解的必要性（155）2.强解（155）3.弱解（157）  习题（158）

  §2  广义函数的概念

  §3  广义函数的性质与运算

    1.广义函数的极限（164）2.广义函数的导数（164）  3.广义函数的乘子（165）

    4.广义函数的卷积（166）  习题（167）

  §4  广义函数的傅里叶变换

  §5  基本解

    1.柯西问题的基本解（171）2.调和方程的基本解（174）3.其它类型的基本解（176）习题（176）

第七章  偏微分方程的数值解

  §1  调和方程狄利克雷问题的数值解

    1.有限差分法（177）2.元体平衡法（179）3.有限元素法（里茨（Ritz）法）（182）

    4.有限元素法（伽辽金法）（184）  习题（185）

  §2  热传导方程的差分法

    1.一维热传导方程的显式差分格式（186）2.差分格式的收敛性和稳定性（187）

    3.隐式格式及其稳定性（189）  习题（190）

  §3  波动方程的差分法

    1.波动方程初边值问题的差分格式（190）  2.CFL条件（柯朗—弗里德里希斯—勒维（Courant—Friedrichs—Lewy）条件）（191）习题（192）

附录I  傅里叶级数系数的估计

附录Ⅱ  张紧薄膜的张力为常值的证明

附录Ⅲ  特殊函数