上篇 基础篇

第1章 矩阵的几何理论3

  引言 矩阵是什么3

  1.1 线性空间上的线性算子与矩阵3

  1.1.1 线性空间3

  习题1（1）18

  1.1.2 线性算子及其矩阵23

  习题1（2）54

  1.2 内积空间上的等积变换62

  1.2.1 内积空间63

  习题1（3）73

  1.2.2 等积变换及其矩阵77

  习题1（4）96

  *1.3 埃尔米特变换及其矩阵99

  1.3.1 对称变换与埃尔米特变换100

  1.3.2 埃尔米特正定、半正定矩阵102

  1.3.3 矩阵不等式105

  1.3.4 埃尔米特矩阵特征值的性质107

  *1.3.5 一般的复正定矩阵109

  习题1（5）110

第2章 λ矩阵与若尔当标准形113

  引言 什么是矩阵标准形113

  2.1 λ矩阵113

  2.1.1 λ矩阵的概念113

  2.1.2 λ矩阵在相抵下的标准形116

  2.1.3 不变因子与初等因子118

  2.2 若尔当标准形129

  2.2.1 数字矩阵化为相似的若尔当标准形129

  *2.2.2 若尔当标准形的其他求法140

  习题2147

第3章 矩阵的分解154

  引言 矩阵分解的意义154

  3.1 矩阵的三角分解154

  3.1.1 消元过程的矩阵描述154

  3.1.2 矩阵的三角分解157

  3.1.3 常用的三角分解公式162

  3.2 矩阵的ＱＲ(正交三角)分解167

  3.2.1 ＱＲ分解的概念167

  3.2.2 QR分解的实际求法170

  3.3 矩阵的最大秩分解176

  3.4 矩阵的奇异值分解和极分解180

  3.5 矩阵的谱分解184

  3.5.1 正规矩阵184

  3.5.2 正规矩阵的谱分解186

  3.5.3 单纯矩阵的谱分解189

  习题3192

第4章 赋范线性空间与矩阵范数198

  引言范数是什么198

  4.1 赋范线性空间198

  4.1.1 向量的范数198

  4.1.2 向量范数的性质204

  习题4（1）206

  4.2 矩阵的范数208

  4.2.1 矩阵范数的定义与性质208

  4.2.2 算子范数210

  4.2.3 谱范数的性质和谱半径215

  习题4（2）217

  4.3 摄动分析与矩阵的条件数220

  4.3.1 病态方程组与病态矩阵220

  4.3.2 矩阵的条件数221

  *4.3.3 矩阵特征值的摄动分析224

  习题4（3）228

下篇 应用篇

第5章 矩阵微积分及其应用233

  引言 讨论矩阵微积分的必要性233

  5.1 向量序列和矩阵序列的极限233

  5.1.1 向量序列的极限233

  5.1.2 矩阵序列的极限235

  5.2 矩阵级数与矩阵函数238

  5.2.1 矩阵级数238

  5.2.2 矩阵函数245

  5.3 函数矩阵的微分和积分254

  5.3.1 函数矩阵对实变量的导数254

  5.3.2 函数矩阵特殊的导数258

  5.3.3 矩阵的全微分262

  5.3.4 函数矩阵的积分264

  *5.4 矩阵微分方程265

  5.4.1 常系数齐次线性微分方程组的解266

  5.4.2 常系数非齐次线性微分方程组的解270

  5.4.3 n阶常系数微分方程的解274

  习题5277

第6章 广义逆矩阵及其应用286

  引言什么是广义逆矩阵286

  6.1 矩阵的几种广义逆286

  6.1.1 广义逆矩阵的基本概念286

  6.1.2 减号逆A-287

  6.1.3 自反减号逆A-r290

  6.1.4 最小范数广义逆A-m295

  6.1.5 最小二乘广义逆A-l299

  6.1.6 加号逆A+300

  6.2 广义逆在解线性方程组中的应用306

  6.2.1 线性方程组求解问题的提法306

  6.2.2 相容方程组的通解与A-307

  6.2.3 相容方程组的极小范数解与A-m309

  6.2.4 矛盾方程组的最小二乘解与A-l312

  6.2.5 线性方程组的极小最小二乘解与A+317

  习题6318

第7章 几类特殊矩阵与特殊积323

  引言 什么是特殊矩阵与特殊积323

  7.1 非负矩阵323

  7.1.1 非负矩阵与正矩阵323

  7.1.2 不可约非负矩阵329

  7.1.3 素矩阵与循环矩阵335

  7.2 随机矩阵与双随机矩阵336

  7.3 单调矩阵340

  7.4 M矩阵与H矩阵341

  7.4.1 M矩阵342

  7.4.2 H矩阵346

  7.5 T矩阵与汉克尔矩阵347

  习题7（1）349

  7.6 克罗内克积350

  7.6.1 克罗内克积的概念350

  7.6.2 克罗内克积的性质351

  7.7 阿达马积357

  7.8 反积及非负矩阵的阿达马积359

  7.9 克罗内克积应用举例359

  7.9.1 矩阵的拉直359

  7.9.2 线性矩阵方程的解361

  习题7（2）362

第8章 矩阵在数学内外的应用363

  引言363

  8.1 矩阵在数学内部的应用363

  8.1.1 矩阵在代数中的应用363

  8.1.2 矩阵在几何中的应用366

  8.1.3 矩阵在图论中的应用368

  8.2 矩阵在数学之外的应用372

  8.2.1 矩阵在信息编码中的应用372

  8.2.2 矩阵在经济模型中的应用374

  8.2.3 矩阵在生物种群生长繁殖问题中的应用376

  8.2.4 矩阵在控制论中的应用377

  附录 模拟考试自测试题（共15套）384

参考文献401