目录第 1章集合 ................................... 1 1.1集合 ................................. 1 1.1.1集合的概念 ............. 1 1.1.2集合运算 ................ 2 1.2基数的概念 ....................... 8 1.3可数集和不可数集 ............13习题 1......................................20第 2章 n维欧氏空间上的拓扑 .......23 2.1 n维欧氏空间上的拓扑概念 .....................................................23 2.1.1开集,内部,拓扑 .....23 2.1.2闭集,闭包,导集 .....27 2.2子空间,乘积空间,紧集和连续映射 ..........................................31 2.2.1子空间 ...................31 2.2.2乘积空间 ...............32 2.2.3紧集 ......................33 2.2.4连续映射 ...............35 2.3开集的结构, Cantor三分集, Borel集 ......................................40 2.3.1开集的结构 ............40 2.3.2 Cantor三分集 .......43 2.3.3 Borel集 ................45习题 2......................................50第 3章测度论 ...............................53 3.1外测度 .............................54 3.2可测集 .............................57 3.3可测集类 .........................61 3.3.1可测集的进一步性质 .....................................................61 3.3.2一个不可测集的例子 .....................................................63 3.3.3集合可测性的等价定义 .................................................64 3.3.4 L作为 B的完备化简介 ..............................................66习题 3......................................69第 4章可测函数............................72 4.1可测函数的定义和基本性质 .....................................................72 4.1.1广义实数集 ............72 4.1.2可测函数 ...............75 4.1.3几乎处处的概念 .....79 4.2简单函数 .........................80 4.3可测函数的极限性质和构造 .....................................................83 4.3.1几乎处处收敛与近一致收敛 ...........................................84 4.3.2依测度收敛和几乎处处收敛 ...........................................86 4.3.3可测函数的构造 .....89习题 4......................................91第 5章 Lebesgue积分..................94 5.1 Lebesgue积分的引入:简单函数的积分 ....................................94 5.2测度有限集合上有界可测函数的积分 .......................................98 5.3 Lebesgue积分和 Riemann积分的关系 ................................... 103 5.4非负可测函数的积分 ....... 106 5.5一般可测函数的积分 ....... 111 5.6乘积测度与 Fubini定理 .. 118 5.6.1二维乘积测度空间 ...................................................... 118 5.6.2 Fubini定理 ..........121 5.6.3乘积集合的可测性 ...................................................... 127习题 5.................................... 129第 6章微分 ................................ 134 6.1积分的微分 .................... 134 6.1.1 Hardy-Littlewood极大函数 ........................................ 135 6.1.2 Lebesgue微分定理 ..................................................... 138 6.2函数的微分 .................... 141 6.2.1有界变差函数 ....... 141 6.2.2绝对连续函数 ....... 151 6.2.3跳跃函数的导数 ... 155习题 6.................................... 158附录 A选择公理的等价形式 .........163习题7 ...................................... 167附录 B一般测度与积分理论简介... 168 B.1一般测度空间 ................ 168 B.2积分 ............................. 170 B.3符号测度和 Randon-Nikodym定理 ....................................... 172参考文献 ........................................ 175索引 ............................................... 177