第1章 集合与函数
1.1 集合
1.1.1 集合的概念
1.1.2 实数集
1.2 函数
1.2.1 函数的概念
1.2.2 函数的表示法
1.2.3 反函数
1.2.4 具有某种特性的函数
1.2.5 基本初等函数
1.2.6 复合函数与初等函数
第2章 极限与连续
2.1 两类典型问题
2.1.1 变化率问题
2.1.2 求积问题
2.2 函数在有限点处的极限与连续
2.2.1 当x→x0时，函数f(x)的极限及无穷大
2.2.2 一个重要结论
2.2.3 单侧极限
2.2.4 函数的连续性
2.2.5 间断点
2.2.6* 间断点的分类与垂直渐近线
2.3 函数在无穷远处的极限
2.3.1 当x→+∞时，函数f(x)的极限及无穷大
2.3.2 当x→-∞时，函数f(x)的极限及无穷大
2.3.3 当x→-∞时，函数f(x)的极限及无穷大
2.3.4* 水平渐近线
2.4 极限的运算法则与初等函数的连续性
2.4.1 极限的四则运算法则
2.4.2 极限的复合运算法则
2.4.3 区间上的连续函数与初等函数的连续性
2.4.4 无穷小与无穷小分出法及∞-∞型不定式
2.4.5* 无穷大的性质及几种特殊情况下的极限计算
2.5 无穷小的性质及比较
2.5.1 具有极限的函数与无穷小的关系
2.5.2 无穷小的代数性质
2.5.3 无穷小的比较
2.5.4 等价无穷小替换法则
2.6 两个重要极限
2.6.1 夹挤准则
2.6.2 第一个重要极限
2.6.3 第二个重要极限
第3章 导数与微分
3.1 导数的概念
3.1.1 导数的定义与几何意义
3.1.2 函数可导性与连续性的关系
3.1.3 函数增量与函数连续、可导的等价定义
3.1.4* 导数的几何意义及可导与连续的进一步讨论
3.2 导数的四则运算法则
3.2.1 几个基本初等函数的导数公式
3.2.2 导数的四则运算法则
3.3 微分及反函数求导法则
3.3.1 函数增量公式
3.3.2 函数微分的定义
3.3.3 可微与可导的关系
3.3.4 反函数求导法则
3.3.5 微分公式与微分运算法则
3.3.6 微分的几何意义
3.3.7* 微分几何意义的进一步讨论
3.4 复合函数的求导法则及一阶微分形式不变性
3.4.1 复合函数的求导法则
3.4.2 一阶微分形式不变性
3.5 高阶导数及几种特殊求导方法
3.5.1 高阶导数
3.5.2 由参数方程所确定的函数的导数
3.5.3 隐函数及其求导法
3.5.4 对数求导法
3.5.5* 关于求导方法的进一步讨论
第4章 定积分与不定积分
4.1 定积分
4.1.1 定积分的定义
4.1.2 定积分的存在性
4.1.3 定积分的基本性质
4.1.4 定积分的计算公式
4.2 原函数与不定积分
4.2.1 原函数及其性质
4.2.2 不定积分与基本积分公式
4.2.3 不定积分的性质
4.2.4 不定积分的几何意义
4.3 直接积分法
4.4 换元积分法
4.4.1 第一类换元积分法
4.4.2 第二类换元积分法
4.5 分部积分法
4.5.1 分部积分公式
4.5.2 求解不定积分的一般思路
总结
第5章 常微分方程
5.1 微分方程的基本概念
5.1.1 引例
5.1.2 微分方程的基本概念
5.2 一阶微分方程
5.2.1 可分离变量的微分方程
5.2.2 一阶线性微分方程
5.2.3* 齐次型微分方程
5.2.4* 伯努利(Bernoulli)方程
5.2.5* 可降阶的高阶微分方程
5.3 二阶线性微分方程
5.3.1 二阶线性齐次微分方程
5.3.2 二阶线性非齐次微分方程
第6章 一元微积分应用
6.1 函数的最值与极值
6.1.1 极限的局部保号性
6.1.2 闭区间上连续函数的基本性质
6.1.3 函数的极值与费马(Fermat)定理
6.2 微分中值定理
6.2.1 罗尔(Rolle)定理
6.2.2 拉格朗日(Lagrange)中值定理与柯西(Cauchy)中值定理
6.3 洛必达(L'Hospital)法则及其应用
6.3.1 洛必达法则
6.3.2 洛必达法则的使用
6.3.3 其他类型不定式
6.4 函数的单调性与极(最)值
6.4.1 函数严格单调性的判定与极值的求法
6.4.2 函数最值的求法及其应用
6.5 函数曲线的凹向与拐点
6.5.1 曲线的凹向
6.5.2 曲线的拐点
6.6 平面图形的面积
6.6.1 定积分的几何意义
6.6.2 平面图形的面积
6.6.3* 参数方程形式下的面积公式
6.7* 积分中值定理
6.7.1 定积分的估值不等式
6.7.2 积分中值定理
6.8 变上限积分
6.8.1 变上限积分
6.8.2 微积分基本定理
6.9 无穷区间上的广义积分
6.10 微元法及其应用举例
6.10.1* 微元法
6.10.2 平行截面面积为已知的几何体的体积
6.10.3* 平面曲线的弧长(直角坐标系下的弧长公式)
第7章 级数
7.1 数列极限
7.1.1 数列的概念
7.1.2 数列极限的概念
7.1.3 收敛数列的性质
7.1.4 数列极限的存在定理
7.2 数项级数
7.2.1 数项级数的基本概念
7.2.2 数项级数的基本性质
7.3 正项级数及其审敛准则
7.3.1 正项级数的概念及收敛准则
7.3.2 正项级数的审敛准则
7.4 变号级数的敛散性
7.4.1 交错级数及其审敛法
7.4.2 绝对收敛和条件收敛
7.5 幂级数
7.5.1 函数项级数的一般概念
7.5.2 幂级数及其敛散性
7.5.3* 收敛幂级数的和函数及性质
7.5.4* 函数的幂级数展开式
7.6* 傅里叶(Fourier)级数
7.6.1 三角级数
7.6.2 三角函数系的正交性
7.6.3 周期为2π的周期函数展开成傅里叶级数
7.6.4 周期为2l的函数的傅里叶级数
第8章 多元函数微积分
8.1 空间解析几何基本知识
8.1.1 空间直角坐标系
8.1.2 曲面与方程
8.2 多元函数的基本概念
8.2.1 二元函数的概念
8.2.2 二元函数的几何表示
8.2.3 二元函数的极限
8.2.4 二元函数的连续性
8.3 偏导数
8.3.1 偏导数
8.3.2 高阶偏导数
8.4 全微分
8.4.1 全增量
8.4.2 全微分
8.5 多元复合函数的微分法
8.5.1 多元复合函数的求导法则
8.5.2* 一阶全微分形式不变性
8.6* 隐函数的微分法
8.7 多元函数的极值
8.7.1 多元函数的极值
8.7.2* 条件极值
8.8 二重积分
8.8.1 二重积分的概念
8.8.2 二重积分的性质
8.8.3 直角坐标系下二重积分的计算
8.8.4* 极坐标系下二重积分的计算
参考文献