《数学概览》序言

中文版前言

前言

第1节  什么是代数？

  坐标化的思想．例子：量子力学词汇表，关联公理和平行性的有限

  模型的坐标化．

第2节  域

  域的公理，同构．独立变量的有理函数域；平面代数曲线的函数域．

  Laurent级数域和形式Laurent级数域．

第3节  交换环

  环的公理：零因子和整环．分式域．多项式环．平面代数曲线上的

  多项式函数环．幂级数环与形式幂级数环．Boole环．环的直和．

  连续函数环．因子分解；唯一因子分解整环(UFD)，UFD的例子．

第4节  同态和理想

  同态，理想，商环．同态定理．函数环中的限制同态．主理想整环；

  与UFD的关系．理想的积．域的特征．给定多项式有根的扩张．

  代数闭域．有限域．用极大理想和素理想上的函数表示一般环的

  元素．作为函数的整数．超积与非标准分析．交换的微分算子．

第5节  模

  直和与自由模．张量积．模的张量幂、对称幂和外幂，对偶模．等价

  的理想和模的同构．微分形式模和向量场．向量空间族与模族．

第6节  从代数角度看维数

  模的秩．有限型模．主理想整环上的有限型模．Noether模和

  Noether环．Noetber环和有限型环．分次环的情形．扩张的超越

  次数．有限扩张．

第7节  无穷小概念的代数观点

  模2阶无穷小的函数和流形的切空间．奇点．向量场与1阶微分

  算子．高阶无穷小．射流和微分算子．环的完备化，p进数．赋范域．

  有理数域和有理函数域的赋值．数论中的p进数域．

第8节  非交换环

  基本定义．环上的代数．模的自同态环．群代数．四元数与可除代

  数．扭曲子纤维化．可除代数上n维向量空间的自同态．张量代数

  和非交换多项式环．外代数；超代数；Clifford代数．单环和单代数．

  可除代数上向量空间白同态环的左理想和右理想．

第9节  非交换环上的模

  模和表示．代数用矩阵形式的表示．单模，合成列，Jordan-Holder．

  定理．环或模的长度．模的自同态环．Schur引理．

第10节  半单模和半单环

  半单性．群代数是半单的．半单环上的模．有限长度的半单环；

  Wedderburn定理．有限长度的单环与射影几何基本定理．因式和

  连续几何．代数闭域上有限秩的半单代数．对有限群表示的应用．

第11节  有限秩的可除代数

  R或有限域上的有限秩可除代数．Tsen定理和拟代数闭域．p进数

  域和有理域上有限秩的中心可除代数．

第12节  群的概念

  变换群，对称，自同构．动力系统的对称和守恒律．物理定律的对

  称．群，正则作用．子群，正规子群，商群．元素的阶．理想类群．

  模的扩张的群．Brauer·群．两个群的直积．

第13节  群的例子：有限群

  对称群和交错群．正多边形和正多面体的对称群．格的对称群．

  晶体的类．由反射生成的有限群．

第14节  群的例子：无限离散群

  离散变换群．晶体群．Lobachevsky平面的离散运动群．模群．

  自由群．由生成元和关系确定的群．逻辑问题．基本群．纽结群．

  辫群．

第15节  群的例子：Lie群和代数群

  Lie群．环面．在Liouville定理中的作用．

  A．紧致Lie群

  典型的紧致群以及它们之间的一些关系．

  B．复解析Lie群

  典型的复Lie群．其他一些Lie群．Lorentz群．

  C．代数群

  代数群，addle群．Tamagawa数．

第16节  群论的一般结果

  直积．Wedderburn-Remak-Shmidt定理．合成列，Jordan-Holder

  定理．单群，可解群．单紧致Lie群．单复Lie群．有限单群，分类．

第17节  群表示

  A．有限群的表示

  表示，正交关系．

  B．紧致Lie群的表示

  紧致群的表示．在群上积分．Helmholtz-Lie理论．紧致Abel群

  的特征标和Fourier级数．4维Riemann几何中的Weyl和

  Ricci张量．SU(2)和SO(3)的表示．Zeeman效应．

  C．典型复Lie群的表示

  非紧致Lie群的表示．有限维典型复Lie群表示的完全不可约性．

第18节  群的一些应用

  A．Galois理论

  Calois理论．根式解方程．

  B．线性微分方程的Galois理论(Picard-Vessiot理论)

  C．非分歧覆盖的分类

  非分歧覆盖的分类和基本群．

  D．不变式理论

  不变式理论的第一基本定理．

  E．群表示和基本粒子的分类

第19节  Lie代数和非结合代数

  A．Lie代数

  Poisson括号作为Lie代数的例子．Lie环和Lie代数．

  B．Lie理论

  Lie群的Lie代数．

  C．Lie代数的应用

  Lie群与刚体运动．

  D．其他非结合代数

  Cayley数．8维空间的6维子流形上的殆复结构．非结合的

  实可除代数．

第20节  范畴

  图和范畴．泛映射问题．函子．拓扑中发生的函子：圈空间，双角

  锥．范畴中的群对象．同伦群．

第21节  同调代数

  A．同调代数概念的拓扑起源

  复形及其同调．多面体的同调和上同调．不动点定理．微分形式

  和de Rham上同调；de Rham定理．长正合上同调序列．

  B．模和群的上同调

  模的上同调．群上同调．离散群上同调的拓扑意义．

  C．层上同调

  层；层上同调．有限性定理．Riemann—Roch定理．

第22节  K-理论

  A．拓扑K-理论

  向量丛和函子Vec(X)．周期性和函子Kn(X)．K1(X)和无限

  维线性群．椭圆微分算子的符号．指标定理．

  B．代数K-理论

  投射模类的群．环的Ko，K1和Kn域的K2及其与Brauer

  群的关系．K-理论和算术．

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参考文献

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