引言

第1章  复数和复变函数及其极限

  1.1  复数及其运算

    1.1.1  复数的概念及其表示法

    1.1.2△复数的代数运算

    1.1.3  扩充复平面与复球面

  习题  1.1

  习题  1.1答案

  1.2  复平面上曲线和区域

    1.2.1△复平面上曲线方程的各种表示

    1.2.2△连续曲线和简单曲线与光滑曲线

    1.2.3  平面点集与区域

  习题  1.2

  习题  1.2答案

  1.3  复变函数与整线性映射

    1.3.1△ 复变函数的概念

    1.3.2  复映射——复变函数的几何意义

    1.3.3  整线性映射及其保圆性

  习题  1.3

  习题  1.3答案

  1.4  复变函数的极限和连续

    1.4.1△复变函数的极限

    1.4.2  复变函数的连续性

  习题  1.4

  习题  1.4答案

第2章  解析函数

  2.1  复变函数的导数

   2.1.1△导数的概念及其求导法则

   2.1.2  微分的定义及其可微的充要条件

  习题  2.1

  习题  2.1答案

  2.2  函数的解析性和指数函数

    2.2.1  函数解析的概念和充要条件

    2.2.2  解析函数的运算性质

    2.2.3△指数函数exp(ｚ)＝ｅｚ

  习题  2.2

  习题  2.2答案

  2.3  初等解析函数

    2.3.1  对数函数

    2.3.2  幂函数

    2.3.3  三角函数和双曲函数

    2.3.4△反三角函数和反双曲函数

  习题  2.3

  习题  2.3答案

第3章  复积分

  3.1  复积分的概念及其性质

    3.1.1  复变函数积分的概念

    3.1.2  复积分的存在性及其一般计算公式

    3.1.3△复积分的简单性质

  习题  3.1

  习题  3.1答案

  3.2  积分与其路径的无关性

    3.2.1  复积分与其积分路径无关的条件

    3.2.2  解析函数的原函数和在积分计算中的应用

    3.2.3△复闭路定理和闭路变形原理

  习题  3.2

  习题  3.2答案

  3.3  Ｃａｕｃｈｙ积分公式和高阶导数公式

    3.3.1  解析函数的Ｃａｕｃｈｙ积分公式

    3.3.2  解析函数的高阶导数定理

    3.3.3△ 解析函数的实部和虚部与调和函数

  习题  3.3

  习题  3.3答案

  3.4  平面调和场及其复势

    3.4.1  平面向量场的旋度和散度与平面调和场

    3.4.2  平面调和场的复势及其有关等式

    3.4.3  平面流速场和静电场的复势求法及其应用

  习题  3.4

  习题  3.4答案

第4章  复级数

  4.1  复数项级数和幂级数

    4.1.1  复数列的收敛性及其判别法

    4.1.2  复数项级数的收敛性及其判别法

    4.1.3  幂级数及其收敛半径

    4.1.4  △幂级数的运算性质

  习题  4.1

  习题  4.1答案

  4.2  Taylor级数

    4.2.1  有关逐项积分的两个引理

    4.2.2  Taylor级数展开定理

    4.2.3  基本初等函数的Taylor级数展开式

    4.2.4△典型例题及其说明

  习题  4.2

  习题  4.2答案

  4.3  Ｌaurent级数

    4.3.1  Ｌaurent级数展开定理

    4.3.2  Laurent级数的性质

    4.3.3△用Ｌaurent级数展开式计算积分

  习题  4.3

  习题  4.3答案

第5章  留数及其应用

  5.1  函数的孤立奇点及其分类

    5.1.1  函数孤立奇点的概念和分类

    5.1.2  函数各类孤立奇点的充要条件

    5.1.3  用函数的零点判别极点的类型

    5.1.4  函数在无穷远点的性态

  习题  5.1

  习题  5.1答案

  5.2  留数和留数定理

    5.2.1△  留数的定义和计算

    5.2.2  留数定理

    5.2.3  函数在无穷远点处的留数

  习题  5.2

  习题  5.2答案

  5.3  留数在定积分计算中的应用

    5.3.1△形如Ｉ1=∫α0fcos 2πα,sin 2πθαdθ的积分

    5.3.2  形如Ｉ2=∫∞-∞ f(x)dx的积分

    5.3.3  形如Ｉ3=∫+∞-∞ f(x)eiβxdx(β＞0)的积分

  习题  5.3

  习题  5.3答案

  5.4  辐角原理及其应用

    5.4.1  对数留数

    5.4.2  辐角原理

    5.4.3  Rouche′定理

  习题  5.4

  习题  5.4答案

第6章*  保角映射

  6.1  保角映射的概念

    6.1.1  曲线的切线方向和两条曲线的夹角

    6.1.2  解析函数导数的几何意义

    6.1.3  保角映射的概念和定理

  习题  6.1

  习题  6.1答案

  6.2  分式线性映射及其性质

    6.2.1  在扩充复平面上的保圆性

    6.2.2  在扩充复平面保持交比的不变性

    6.2.3  对扩充复平面上圆周的保对称性

    6.2.4  对有向圆周和直线的保侧性

    6.2.5  三种特殊的分式线性映射

  习题  6.2

  习题  6.2答案

  6.3  几个初等函数所构成的映射

    6.3.1  对数映射w=lnz和指数映射w=ez

    6.3.2  幂映射w=zn及其逆映射(n=2,3,…)

    6.3.3  儒柯夫斯基(H.E.Жyковскни)函数

  习题  6.3

  习题  6.3答案

  6.4  保角映射几个一般性定理及其应用

    6.4.1  保角映射的几个一般性定理

    6.4.2  SchwarzChristoffel映射——多角形映射

    6.4.3  用保角映射解Laplace方程边值问题

  习题  6.4

  习题  6.4答案

参考文献